관성 모멘트

Moment of inertia

물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 $I$를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.

생각해보자. 어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 로 나타낼 수 있다.

이는 힘 $\mathbf{F}$가 주어지면, 계는 가속도 $\mathbf{a}$로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 $m$은 물체가 힘에 '저항'[1]하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌린다고 했을때, 막대의 중심에서 돌리는 것과, 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.

여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.

이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도간의 관계는 $\boldsymbol{\tau}=I\boldsymbol{\alpha}$ 로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.

관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.

$n$개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 $\boldsymbol{\omega}$로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 $T_{r}$은 각 질점의 운동 에너지의 합 같다. 이때, $i$번째 질점의 선속도를 ${\mathbf{v}}_{i}$라 놓으면,

그런데, ${\mathbf{v}}_{i} \cdot {\mathbf{v}}_{i}=v_{i}^{2}=(r_{i}\omega)^{2}$이므로

가 된다. 이때, 가운데 term

를 관성 모멘트라 정의한다.

따라서 회전 운동 에너지를

형태로 쓸 수 있는 것이다.

회전축으로 부터 떨어진 거리가 $r$인 점질량[2] $m$이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어지게 된다.

이때, 같은 축으로 부터 $n$개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이다. 즉,

이 된다.

다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포함에 따라 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우에는 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로 부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 $dI=r^2\,dm$이 된다. 이때, $\mathbf{r}$에서의 밀도 $\rho(\mathbf{r})$를 도입하면, 미소 질량 $dm=\rho(\mathbf{r})\,dV$로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 $dI=\rho(\mathbf{r})r^2\,dV$로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는



로 쓸 수 있다. 아래 그림을 참고하면 좋다.

파일:관성 모멘트.png

그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 $\sigma(\mathbf{r})$나 얇은 줄 등 선밀도 $\lambda(\mathbf{r})$를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.

이때, $da$, $dl$은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.

단위는 차원 분석 시 $[\textrm{Mass}][\textrm{Length}]^{\textrm{2}}$가 나오므로 $\textrm{kg} \cdot \textrm{m}^{\textrm{2}}$가 된다.

매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.

아래의 모든 강체의 질량은 $\displaystyle M$이며, 밀도는 균일하다.

이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트는 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.

파일:나무_평행축정리_수정.png

평행축 정리는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.

질량이 $M$인 질점계의 질량중심을 $\textrm{CM}$이라 하고, 그 점에서 수직하게 지나가는 회전축 $\textrm{I}$을 고려해보자. 그 축에서 측정된 계의 관성 모멘트를 $I_\textrm{CM}$이라 놓자. 또, 계에서 $i$번째 질점을 $m_{i}$라 놓고, 회전축 $\textrm{I}$을 기준으로 $i$번째 질점까지의 위치 벡터를 $\mathbf{r'}_{i}$[4]이라 하면,

이 된다.

이때, 축을 $\textrm{CM}$으로 부터 $\mathbf{a}$만큼 평행이동한 회전축을 회전축 $\textrm{II}$라 하고, 이 축에서 측정된 관성 모멘트를 $I_\textrm{P}$라 하자. 이때, 축으로 부터 질점까지의 거리 벡터는 $\mathbf{R'}_{i}=\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}$가 된다. 따라서

가 되고, 모든 항을 전개하면,

$\mathbf{a}$는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제 $3$항은 질량중심을 나타내는 벡터[참고]와 관련된 것인데, $\mathbf{r'}_{i}$이 질량중심으로 부터 측정된 벡터이기 때문에 제 $3$항은 $0$이 된다. 따라서

이고, 제 $1$항은 위에서 구했던 $I_\textrm{CM}$이고, 제 $2$항의 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}=M$으로써 질점계의 총 질량이므로



이 되는 것을 알 수 있다.


이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.

파일:나무_수직축 정리_재수정_12.png

수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. $xy$평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[6], 서로 수직한 세개의 축을 각각 $x, y, z$축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 $I_{x}$,$I_{y}$, $I_{z}$라 하자.

이때, 각 축에 대한 $i$번째 질점까지의 거리를 $r_{ix}$,$r_{iy}$, $r_{iz}$라 놓으면, $n$개의 질점계에 대해

이고, 피타고라스 정리에 의해

이므로

이때, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{ix}^{2} \equiv I_{x}$, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{iy}^{2} \equiv I_{y}$임에 따라 다음의 수직축 정리를 얻는다.

이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.